Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité
Arithmétique
Exercice 1 : Division euclidienne de an+b par cn+d
Effectuer la division euclidienne de \( \left(15 + 6n\right) \) par \( \left(4 + 3n\right) \) pour \( n > 1 \).
Donner son quotient.
Donner son quotient.
Donner son reste.
Exercice 2 : Equation de congruence simple (une seule solution)
Sachant que \( 0 \leq a \lt 8 \), résoudre l'équation suivante :
\[ 78 \equiv a \ [8] \]
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
Exercice 3 : Équation de congruence (nombres autour de 10) - avec tableau des restes
Le but de cet exercice est de résoudre l'équation suivante : \[9x \equiv 2 \ [13]\]Remplir le tableau des restes ci-dessous.
Conclure en donnant, sous une forme générale dépendant d'un entier relatif
quelconque \(k\), les solutions de cette équation.
On écrira par exemple : \(\left\{3k+2\ ;\ 6k+1, k \in \mathbb{Z}\right\}\).
On écrira par exemple : \(\left\{3k+2\ ;\ 6k+1, k \in \mathbb{Z}\right\}\).
Exercice 4 : PGCD - Déterminer les pgcd possibles de 2 expressions
\(n\) est un entier relatif.
Donner l'ensemble des valeurs possibles du PGCD de 6 + 5n et de 8 + 2n.
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple {1; 3} ou [2; 4[
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple {1; 3} ou [2; 4[
Exercice 5 : Résolution d'équation de la forme x²-axy=k
Trouver l'ensemble des couples \( (x;y) \) \( \in \) \(\mathbb{Z^{2}}\) tels que :
\[ x^{2} -6xy=4 \]
On donnera la réponse sous la forme \( \left( x_1 ; y_1 \right) ;\left(x_2;y_2 \right) ; ... \) .
On donnera la réponse sous la forme \( \left( x_1 ; y_1 \right) ;\left(x_2;y_2 \right) ; ... \) .